大事なのは考え方!旧帝大合格ブログ

大学以降も念頭に入れた勉強法を。【難関大的思考法】を届けます。

難関大的思考法のまとめ記事はこちらから。


【高校数学全般】ここができてない、数1

明かしすぎじゃないか、ってぐらいに書いてみることにします。同業者の人に見つかってパクられたらどうしようかと思っています。

展開因数分解

展開、因数分解はなんだかんだみなさん覚えてくれます。3乗の公式を用いた展開因数分解はなぜか数2に後回しにされましたが、覚えればいい話なので、気にしてません。

集合、必要十分

必要十分はごろ合わせで乗り切ってもらえば大丈夫でしょう。とにかくこの単元も難易度としては高くありません。

しかし、入試直前期まで結構苦戦してしまう子の多い範囲でもあります。その理由は、この単元は他の単元とは完全に独立しているからです。たとえば2次関数とかは、数2やら数Bやらでちょいちょい出てきていい復習になりますが、集合や必要十分の考え方はこの単元でしか使わないからです。要は、練習量が他の単元と比べて少なくなってしまうからです。

【鬼門1】2次関数

平方完成

2次関数について、平方完成をできるようにしてほしいのです。え?そんな当たり前のことを、とおっしゃいますか?2次関数で躓く大きな原因の一つが平方完成なのです。平方完成をして、頂点が求められれば、それがグラフの特徴を決める大事な情報になりますね。しかも、文字定数を含む場合であっても平方完成を容易にできるようにしてほしいです。たとえばy=2x^2+ax+aの平方完成は、すぐにできますか?

最大最小の場合分け

まず、きちんと概略図を書くことです。最大最小の議論をするときに、別にx軸y軸を丁寧に書く必要はありません。どこで最大最小をとるかということが大事なので、定義域の両端と放物線の軸との関係がきちんと言い当てられればそれでいいので。

で、場合分けが出てくるわけですが、最大値と最小値の考え方は割と大きく違っていますが、簡単なのは最小値の方です。初心者は、まず最小値は確実にできるように、最大値は定期テストまでにできるように、と指導しますが、受験生は当然両方できないと土俵にすら登れないので、死ぬ気でやってください。それが無理なら数学は無理です。

2文字関数の最大最小は、入試や模試で聞かれます。特に文字消去の考え方はみな大好きなので、頑張ってマスターしましょう。

2次不等式

え?2次不等式なんて簡単ですよ、って。x^2+3x+2>0は解けても、x^2-2x+2>0にすると解けなくなる人がいます。それは、丸暗記した公式だけに頼るからです。丸暗記だけでは、対応できる範囲に制限があります。応用問題になると解けなくなって、問題パターン丸暗記に走ってしまいます。「グラフで考える」。これが不等式の基本です。2x^2+ax+2>0の解がすべての実数であるためのaの条件を求めよ、も本質的に同じ考え方です。

おおむね以上が2次関数のできない場所です。

【鬼門2】三角比

三角比の案外最初を躓いている人を見かけます。つまり、直角三角形があったときに、sin,cos,tanをきちんと求められますか?と。

三角比の最大のテーマは単位円です。単位円ができないと、高2の三角関数がヤバくなります。今見ている受験生の中で、「あーそうだよ、三角関数で急にわからなくなったんだよなー」という人がいるでしょう。その人が真っ先に疑うべきは、単位円をきちんと本質から理解できているかどうかです。

というのは、単位円の考え方を使うことを前提に数2は話が進んでいきます。その段階で、単位円ってなんですか、とやっているようでは、数2の話についていけなくなるのです。そして数3では、三角関数をまるで日本語のように、当然使えますよねーのノリで説明をしてきます。その段階で、また躓きを作ってしまうのです。

実績は出ています。ここは大いに自慢させてもらうと、私が数Ⅰを担当して、単位円をみっちり教えた生徒を持ちあがりで数2を担当すると、「え、三角関数って、何がむずかしいんですか?」と聞いてきます。逆に聞いたこともあります。「三角関数、難しいと思う?」と。「いや、別に大したことないですね」と。別に、盛ってません。

とにかく、三角比は単位円につきます。試金石に出す問題は次の通りです。

θが0°~180°のとき、次の式をみたすθの範囲を求めてください。

(1) \sin\theta<\frac{1}{2}~~~(2)\tan\theta<\sqrt{3}

以上の問題の流れがわからない、解けない人は、単位円が十分に自分のものになっていない可能性があります。

[PR]このあたりの話を盛り込んだ教材を作ってみようかと考えているところです。とにかく、以前も書きましたが、予想以上に基本的なところで躓いているがゆえに応用問題が解けないという生徒があまりにも多いのです。そんな生徒全員の目の前に行って問いたい。基本問題、ホントにできてますか?と。

【ブログ内リンク】
xtoy.hatenablog.com